De Viribus Quantitatis

Il De Viribus Quantitatis di Luca Pacioli contiene una parte, la seconda, dedicata alla soluzione di problemi di geometria piana.
Oltre alle consuete costruzioni basilari sugli angoli e sui triangoli, l'Autore affronta l'argomento relativo al disegno di poligoni, regolari e approssimati, inscritti in un cerchio.
Alcune di queste ultime costruzioni richiedono l'impiego della sezione aurea.
Pacioli non cita alcuna fonte: forse alcune costruzioni erano usate nelle botteghe degli artigiani che egli frequentava.

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ennagono

La costruzione dell'ennagono regolare non è realizzabile con riga e compasso. Una buona approssimazione è ottenibile con un preciso goniometro con il quale diviene possibile costruire gli angoli di 40° e di 70°.
Esistono metodi per ricavare l'angolo dei 20° quale trisezione dell'angolo di 60° e raddoppiando il primo angolo si produce quello di 40°.
In tempi più recenti la costruzione dell'ennagono è stata resa possibile dall'applicazione dei trisettori come il tomahawk e dalle tecniche degli origami.

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PENTAGONO

La costruzione del pentagono ha interessato gli antichi geometri, forse già a partire dalla Scuola pitagorica: solo con Euclide e con Tolomeo si hanno i primi due metodi esatti.
La struttura del pentagono è legata all'irrazionalità del rapporto fra la lunghezza di una diagonale e quella di un lato, rapporto che è espressa dalla sezione aurea.
La successione di Fibonacci è il caso più noto di presenza del numero irrazionale che esprime la sezione aurea.
L'importanza della conoscenza delle proprietà del pentagono crebbe nel Rinascimento: l'introduzione delle armi da fuoco, come i cannoni, spinsero gli ingegneri, come Leonardo da Vinci e altri suoi contemporanei, a progettare fortificazioni di forma pentagonale, più adatte a resistere ai colpi di cannone.

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Ettagono

L'ettagono è un poligono poco considerato a causa della presunta difficoltà della sua costruzione con soltanto una riga non graduata e un compasso. Molti geometri si sono impegnati a cercare una soluzione a questo, ma gran parte delle loro soluzioni erano approssimate.
Fin da Archimede ne è stata dimostrata l'esatta costruibilità con il metodo neusis, metodo al quale in epoca moderna si sono aggiunte due nuove tecniche: la geometria degli origami (argomento non trattato nell'articolo) e i trisettori come il tomahawk.
L'ettagono ha dimostrato la sua costruibilità facendo la sua comparsa, nel corso degli ultimi decenni, nelle monete coniate in Gran Bretagna nei tagli da 20 e da 50 penny che hanno la forma di ettagoni di Rouleaux. Anche la moneta da 20 centesimi di euro fa un qualcosa di ettagonale.

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 compasso

APPUNTI DI GEOMETRIA PRATICA

 © Sergio Calzolani, Firenze, 2016

e-mail: sergio(punto)calzolani(at)outlook(punto)it

 

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I documenti contengono appunti relativi alla geometria pratica e cenni relativi alla sua storia.

                      

Geometria teorica e geometria pratica

La geometria teorica dimostra teoremi e per farlo può impiegare soltanto il compasso ad apertura fissa e la riga non graduata.

L'espressione geometria pratica fu introdotta dal monaco Ugo da San Vittore (circa 1096 – 1141) nel titolo di un suo trattato in latino ("Practica geometriæ"). L'espressione stava a significare una "geometria nuova" in grado di aiutare mercanti, agrimensori, artigiani e artisti nei loro lavori.

La geometria pratica risolve problemi concreti usando una grande varietà di strumenti: compassi ad apertura regolabile, righe graduate, goniometri e molti altri.